Holm法とは？¶

Holm法（Holm-Bonferroni法）は、複数の仮説検定を行う際に、第1種の過誤率（誤って有意と判断する確率）を制御するための多重比較補正手法の一つです。
これは、より一般的で保守的なBonferroni法を改良した方法で、より検定力（パワー）を高く保ちながらも、誤った有意性を防ぐという利点があります。

Holm法は、ステップダウン法と呼ばれる手法に分類されます。
Bonferroni法のようにすべての検定に同じ修正を適用するのではなく、最も有意な結果から順に補正を行っていくというアプローチを取ります。

Holm法の目的と適用される場面¶

Holm法の主な目的は、複数の仮説検定を行った際に、第1種の過誤率（false positive rate）を制御しながら、真に有意な結果を見つけることです。
Holm法は、Bonferroni法よりも柔軟で、複数の仮説検定を行う際にパワーを保ちやすいため、複数のグループ間での比較や、大規模な実験データの解析などでよく用いられます。

Holm法の手順¶

Holm法の補正手順は次の通りです。

p値の昇順に並べる：
すべての仮説検定で得られたp値を昇順に並べます。
たとえば、複数の比較を行った結果、以下のようなp値が得られたとします。

$ p_1 = 0.002 $
$ p_2 = 0.015 $
$ p_3 = 0.025 $
$ p_4 = 0.045 $
これらのp値を小さい順に並べます。

順番に補正を行う：
それぞれのp値に対して、次の補正を適用します。
最も小さいp値から順に、次の計算を行い、有意性を判定します。

1番目のp値（最も小さいp値）に対しては、Bonferroni法と同様に有意水準 $\alpha$ を m で割ります。
$$
\alpha_1 = \frac{\alpha}{m}
$$
2番目のp値に対しては、 $\alpha$ を m-1 で割ります。
$$
\alpha_2 = \frac{\alpha}{m-1}
$$
3番目のp値に対しては、 $\alpha$ を m-2 で割ります。
$$
\alpha_3 = \frac{\alpha}{m-2}
$$
これをすべてのp値に対して繰り返します。

例：
仮に、全体の有意水準 $\alpha = 0.05$、m = 4 の場合、各p値に対する補正後の有意水準は次のようになります。

最初のp値に対して： $ \alpha_1 = \frac{0.05}{4} = 0.0125 $
2番目のp値に対して： $ \alpha_2 = \frac{0.05}{3} H” 0.0167 $
3番目のp値に対して： $ \alpha_3 = \frac{0.05}{2} = 0.025 $
4番目のp値に対して： $ \alpha_4 = \frac{0.05}{1} = 0.05 $

有意性の判定：
補正された各p値を、対応する補正後の有意水準と比較し、最初に有意水準を超えたp値以降は、すべて非有意と判断します。
最初の段階で有意性を失った時点で、残りのp値についても検定を中止します（これが「ステップダウン法」と呼ばれる理由です）。

Holm法の具体例¶

例の設定¶

3つの異なる薬剤A, B, Cの効果を比較する研究を行い、それぞれの比較に対してp値が得られたとします。

AとBの比較： $ p_1 = 0.002 $
AとCの比較： $ p_2 = 0.015 $
BとCの比較： $ p_3 = 0.025 $

全体の有意水準を$\alpha = 0.05$とします。
この3つの仮説検定にHolm法を適用して、多重比較補正を行います。

手順：¶

p値の昇順に並べます： $ p_1 = 0.002 $, $ p_2 = 0.015 $, $ p_3 = 0.025 $
各p値に対応する補正後の有意水準を計算します。

最初のp値に対して： $ \alpha_1 = \frac{0.05}{3} H” 0.0167 $
2番目のp値に対して： $ \alpha_2 = \frac{0.05}{2} = 0.025 $
3番目のp値に対して： $ \alpha_3 = \frac{0.05}{1} = 0.05 $

p値と補正後の有意水準を比較します。

$ p_1 = 0.002 $ は $ \alpha_1 = 0.0167 $ より小さいので有意です。
$ p_2 = 0.015 $ は $ \alpha_2 = 0.025 $ より小さいので有意です。
$ p_3 = 0.025 $ は $ \alpha_3 = 0.05 $ より小さいので有意です。

この例では、すべての比較が有意であると判断されます。

Holm法の利点と制約¶

利点：¶

検定力が高い：Holm法は、Bonferroni法に比べて柔軟であり、パワーを高く保ちながら第1種の誤りを制御します。
そのため、有意な結果を見逃すリスクが少なく、Bonferroni法よりも検出力が高いです。

逐次的な補正：最も有意な結果から順に補正を行うため、柔軟な対応が可能で、真の有意性をより確実に検出できます。

制約：¶

同時検定に対しては弱い：Holm法はBonferroni法に比べて検定力が高い一方で、すべてのペアを同時に検定する場合には若干弱い面があり、TukeyのHSD検定のような他の方法に劣ることもあります。

検定の順序依存：Holm法は最も有意なp値から順に処理していくため、検定結果の順序が影響を及ぼすことがあります。

まとめ¶

Holm法は、複数の仮説検定を行う際に、多重比較による誤検定率を適切に制御しながら、Bonferroni法よりも柔軟で検定力の高い方法です。
特に、パワーを保ちながら多重比較補正を行いたい場合に有効であり、各比較に対する有意水準を逐次的に調整することで、正確な結果を導き出すことができます。
多重比較が必要な研究や実験において、Holm法は強力な選択肢の一つです。